Question

定义在R上的f（x），满足f（m+n²）=f（m）+2[f（n）]²，m，n∈R，且f（1）≠0，则f（2012）的值为________．

Answer 1

1006
分析：由已知利用赋值，令m=0，n=1结合f（1）≠0可求，令n=1可得，f（m+1）=f（m）+2[f（1）]²，可得f（m+1）-f（m）=，则f（m）是以f（1）=为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项可求
解答：∵f（m+n²）=f（m）+2[f（n）]²，对于任意的m，n∈R都成立且f（1）≠0，
令m=n=0可得，f（0）=f（0）+2f²（0），则f（0）=0
令m=0，n=1可得f（1）=f（0）+2f²（1）
∵f（1）≠0
∴
∵f（m+n²）=f（m）+2[f（n）]²，对于任意的m，n∈R都成立
令n=1可得，f（m+1）=f（m）+2[f（1）]²，即f（m+1）-f（m）=2[f（1）]²=
由f（m+1）-f（m）=可得f（m）是以f（1）=为首项，以为公差的等差数列
由等差数列的通项公式可得，f（m）=
∴f（2012）=1006
故答案为：1006
点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，解题的关键是利用赋值得到f（m+1）-f（m）=，然后利用等差数列进行求解