Question

如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，∠FAB＝∠DAB＝90°，AF＝AB＝BC＝2，AD＝1，FA⊥CD.

(1)证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线DF平行；
(2)求二面角F­CD­A的余弦值．

Answer 1

(1)见解析   (2)

解：(1)证明：由已知得，BE∥AF，BC∥AD，BE∩BC＝B，AD∩AF＝A，
∴平面BCE∥平面ADF.
设平面DFC∩平面BCE＝l，则l过点C.
∵平面BCE∥平面ADF，平面DFC∩平面BCE＝l，
平面DFC∩平面ADF＝DF.
∴DF∥l，即在平面BCE上一定存在过点C的直线l，使得DF∥l.
(2)∵FA⊥AB，FA⊥CD，AB与CD相交，
∴FA⊥平面ABCD.
故以A为原点，AD，AB，AF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．由已知得，D(1,0,0)，C(2,2,0)，F(0,0,2)，

∴＝(－1,0,2)，＝(1,2,0)．
设平面DFC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则⇒不妨设z＝1.
则n＝(2，－1,1)，不妨设平面ACD的一个法向量为m＝(0,0,1)．
∴cos〈m，n〉＝＝＝，
由于二面角F­CD­A为锐角，
∴二面角F­CD­A的余弦值为.