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    定义在R上的单调函数满足，且对于任意的，

    都有.

    （1）求证：为奇函数；

    （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

     

    【答案】

    (1)证明略

    (2)

    【解析】（1）证明：  （）   ①

    令，代入①，得   .

    令，代入①，得 ，又

    则有，对任意的成立，

    所以，是奇函数.

    （2），即，又在R上是单调函数，

    所以，在R上是增函数，又由（1）知是奇函数，于是

    由  ，

    得

     

    令，即的最小值为，

    要使对，不等式 恒成立，只要使.

     

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    15、已知定义在R上的单调函数f（x）满足：存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立，则（i）f（1）+f（0）=
    0
    （ii）x0的值为
    1
    ．

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    已知函数f（x）是定义在R上的单调函数满足f（-3）=2，，且对任意的实数a∈R有f（-a）+f（a）=0恒成立．
    （Ⅰ）试判断f（x）在R上的单调性，并说明理由；
    （Ⅱ）解关于x的不等式f(
    2-xx
    )＜2    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义在R上的单调函数f（x）满足f(2)=
    32
    ，且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
    （Ⅰ）求证：f（x）为奇函数；
    （Ⅱ）若f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义在R上的单调函数y=f（x），当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），
    （1）求f（0），并写出适合条件的函数f（x）的一个解析式；
    （2）数列{an}满足a1=f(0)且f(an+1)=
    1
    f(-2-an)
    (n∈N+)    ，
    ①求通项公式an的表达式；
    ②令bn=(
    1
    2
    )an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=
    1
    a1a2
    +
    1
    a2a3
    +…+
    1
    anan+1
    ，试比较Sn与
    4
    3
    Tn    的大小，并加以证明；
    ③当a＞1时，不等式
    1
    an+1
    +
    1
    an+2
    +…+
    1
    a2n
    ＞
    12
    35
    (log a+1x-log ax+1)    对于不小于2的正整数n恒成立，求x的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•广州三模）已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x0使得对任意实数x1，x2，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．
    （1）求x0的值；
    （2）若f（x0）=1，且对任意的正整数n．有an=
    1
    f(n)
    ，bn=f(
    1
    2n
    )+1    ，记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，比较
    4
    3
    Sn    与Tn的大小关系，并给出证明．

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