Question

设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）为R上的“2013型增函数”，则实数a的取值范围是

(-∞，

671

2

)

．

Answer 1

分析：利用奇函数的性质可得f（x）的解析式，再利用新定义对x分类讨论和绝对值的意义即可得出．

解答：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．
设x＜0，则-x＞0．∴f（-x）=|-x-a|-2a=|x+a|-2a，
∴f（x）=-f（-x）=-|x+a|+2a．
∴f(x)=

|x-a|-2a，x＞0 0，x=0 -|x+a|+2a，x＜0

．
分类讨论：
①当x＞0时，由f（x+2013）＞f（x），可得|x+2013-a|-2a＞|x-a|-2a，化为|x-（a-2013）|＞|x-a|，由绝对值的几何意义可得a+a-2013＜0，解得a＜

2013

2

．
②当x＜0时，由f（2013+x）＞f（x），
分为以下两类研究：当x+2013＜0时，可得-|x+2013+a|+2a＞-|x+a|+2a，化为|x+2013+a|＜|x+a|，由绝对值的几何意义可得-a-a-2013＞0，解得a＜

2013

2

．
当x+2013＞0，|x+2013-a|-2a＞-|x+a|+2a，化为|x+2013-a|+|x+a|≥|2013-2a|＞4a，a≤0时成立；当a＞0时，a＜

2013

6

，因此可得a＜

2013

6

=

671

2

．
③当x=0时，由f（2013）＞f（0）可得|2013-a|-2a＞0，当a≤0时成立，当a＞0时，a＜671．
综上可知：a的取值范围是a＜

671

2

．
故答案为(-∞，

671

2

)．

点评：本题考查了奇函数的性质、新定义、分类讨论和绝对值的意义等基础知识与基本技能方法，属于难题．