Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)左右两焦点分别为F₁，F₂，且离心率e=

6

3

；
（1）设E是直线y=x+2与椭圆的一个交点，求|EF₁|+|EF₂|取最小值时椭圆的方程；
（2）已知N（0，1），是否存在斜率为k的直线l与（1）中的椭圆交与不同的两点A，B，使得点N在线段AB的垂直平分线上，若存在，求出直线l在y轴上截距的范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于e=

6

3

，可得

b2

a2

=

1

3

，椭圆方程可化为

x2

3b2

+

y2

b2

=1．与直线方程y=x+2联立，消去y化简得：4x²+12bx+12-3b²=0，又由△≥0，解得b²≥1，此时|EF₁|+|EF₂|=2

3

b≥2

3

，当且仅当b=1时取等号，此时|EF₁|+|EF₂|取最小值2

3

．即可得到椭圆方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程可得到一元二次方程，△＞0即根与系数的关系，利用中点坐标公式可得线段AB的中点M坐标公式，利用k_MN•k=-1可得k与t的关系，结合△＞0进而得出t的取值范围．当k=0时，容易得出．

解答：解：（1）e=

6

3

，
∴

b2

a2

=

1

3

，椭圆方程可化为

x2

3b2

+

y2

b2

=1．
联立

y=x+2 x2+3y2=3b2

，消去y化简得：4x²+12bx+12-3b²=0，
又由△=144b²-16×（12-3b²）≥0，解得b²≥1，
此时|EF₁|+|EF₂|=2

3

b≥2

3

，当且仅当b=1时取等号，此时|EF₁|+|EF₂|取最小值2

3

．
∴椭圆方程为

x2

3

+y2=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程并消去y得到：（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，
∵直线l与椭圆有两个不同的交点，
∴△=（6kt）²-4（1+3k²）（3t²-3）＞0．化为1+3k²＞t²．
∴x1+x2=

-6kt

1+3k2

，x1x2=

3t2-3

1+3k2

．
∴线段AB的中点M(

-3kt

1+3k2

，

t

1+3k2

)，
∴

t 1+3k2 -1

-3kt 1+3k2

×k=-1，化为1+3k²=-2t．
∴-2t＞t²，
解得-2＜t＜0；
又-2t=1+3k²＞1，∴t＞-

1

2

．
故-

1

2

＜t＜0．
当k=0时，-1＜t＜1．
综上可知：k≠0时，-

1

2

＜t＜0；当k=0时，-1＜t＜1．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、中点坐标公式、相互垂直的直线的斜率之间的关系、分类讨论的思想方法等基础知识与基本技能方法，属于难题．