【题目】已知函数f(x)=4tanxsin( ﹣x)cos(x﹣ )﹣ .
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间[﹣ , ]上的单调性.
【答案】
(1)解:∵f(x)=4tanxsin( ﹣x)cos(x﹣ )﹣ .
∴x≠kπ+ ,即函数的定义域为{x|x≠kπ+ ,k∈Z},
则f(x)=4tanxcosx( cosx+ sinx)﹣
=4sinx( cosx+ sinx)﹣
=2sinxcosx+2 sin2x﹣
=sin2x+ (1﹣cos2x)﹣
=sin2x﹣ cos2x
=2sin(2x﹣ ),
则函数的周期T=
(2)解:由2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,k∈Z,
得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ,k∈Z,即函数的增区间为[kπ﹣ ,kπ+ ],k∈Z,
当k=0时,增区间为[﹣ , ],k∈Z,
∵x∈[﹣ , ],∴此时x∈[﹣ , ],
由2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,k∈Z,
得kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z,即函数的减区间为[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z,
当k=﹣1时,减区间为[﹣ ,﹣ ],k∈Z,
∵x∈[﹣ , ],∴此时x∈[﹣ ,﹣ ],
即在区间[﹣ , ]上,函数的减区间为∈[﹣ ,﹣ ],增区间为[﹣ , ].
【解析】(1)利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式,结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可.(2)利用三角函数的单调性进行求解即可.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥CD,∠ADC=90°,PD=AD=AB=1,DC=2.
(1)求证:BC⊥平面PBD;
(2)求二面角A﹣PB﹣C的大小.
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【题目】如图,F1、F2是双曲线 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为( )
A.4
B.
C.
D.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.
(1)求证:PC⊥BC;
(2)求点A到平面PBC的距离.
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【题目】已知F1、F2是椭圆 + =1的左、右焦点,O为坐标原点,点P(﹣1, )在椭圆上,线段PF2与y轴的交点M满足 + = ;
(1)求椭圆的标准方程;
(2)⊙O是以F1F2为直径的圆,一直线l:y=kx+m与⊙O相切,并与椭圆交于不同的两点A、B.当 =λ且满足 ≤λ≤ 时,求△AOB面积S的取值范围.
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【题目】设集合A={x|x2+2x﹣3<0},集合B={x||x+a|<1}.
(1)若a=3,求A∪B;
(2)设命题p:x∈A,命题q:x∈B,若p是q成立的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
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【题目】已知曲线C的方程为:ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0(a≠0,a为常数).
(1)判断曲线C的形状;
(2)设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B(A、B不同于原点O),试判断△AOB的面积S是否为定值?并证明你的判断;
(3)设直线l:y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M、N,且|OM|=|ON|,求曲线C的方程.
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【题目】已知平面区域 恰好被面积最小的圆C:(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2及其内部所覆盖.
(1)试求圆C的方程.
(2)若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A,B满足CA⊥CB,求直线l的方程.
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