Question

（2013•威海二模）如图1，在梯形ABCD中，BC∥DA，BE⊥DA，EA=EB=BC=2，DE=1，将四边形DEBC沿BE折起，使平面DEBC垂直平面ABE，如图2，连结AD，AC．设M是AB上的动点．
（Ⅰ）若M为AB中点，求证：ME∥平面ADC；
（Ⅱ）若AM=

1

3

AB，求三棱锥M-ADC的体积．

Answer 1

分析：（I）取AC中点N，连接MN，DN，ME，由三角形中位线定理及平行四边形判定定理可得四边形MNDE为平行四边形，进而ME∥ND，结合线面平行的判定定理可得ME∥平面ADC；
（Ⅱ）由AM=

1

3

AB，可得VM-ADC=

1

3

VB-ADC=

1

3

VA-BCD，由面面垂直的性质定理结合平面DEBC⊥平面ABE，可得AE⊥平面DEBC，代入棱锥体积公式可得答案．

解答：证明：（Ⅰ）取AC中点N，连接MN，DN，ME，--------------------（1分）
∵M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN∥BC且MN=

1

2

BC--------------------（2分）
又DE∥BC且DE=1=

1

2

BC，
∴MN∥DE且MN=DE，
∴四边形MNDE为平行四边形．--------------------（4分）
∴ME∥ND，又ME?平面ACD，DN?平面ACD，
∴ME∥平面ADC-----------（6分）
解：（Ⅱ）∵AM=

1

3

AB，
∴VM-ADC=

1

3

VB-ADC=

1

3

VA-BCD．-----------------（8分）
∵平面DEBC⊥平面ABE，平面DEBC∩平面ABE=BE，AE⊥EB，
∴AE⊥平面DEBC，
∴AE=2，即A点到平面DEBC的距离，
又S△BCD=

1

2

×EB×BC=

1

2

×2×2=2------------（10分）
∴VA-BCD=

1

3

×AE×S△BCD=

1

3

×2×2=

4

3

，
∴VM-ADC=

4

9

．-----------------（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积公式，解答（I）的关键是证得四边形MNDE为平行四边形，进而ME∥ND，（II）的关键是由面面垂直的性质定理得到AE⊥平面DEBC．