Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且满足： ①|a1|≠|a2|；
②r（n﹣p）Sn+1=（n2+n）an+（n2﹣n﹣2）a1 ， 其中r，p∈R，且r≠0．
（1）求p的值；
（2）数列{an}能否是等比数列？请说明理由；
（3）求证：当r=2时，数列{an}是等差数列．

Answer 1

【答案】
（1）解：n=1时，r（1﹣p）（a1+a2）=2a1﹣2a1，其中r，p∈R，且r≠0．又|a1|≠|a2|．

∴1﹣p=0，解得p=1

（2）解：设an=kan﹣1（k≠±1），r（n﹣1）Sn+1=（n2+n）an+（n2﹣n﹣2）a1，∴rS3=6a2，2rS4=12a3+4a1，

化为：r（1+k+k2）=6k，r（1+k+k2+k3）=6k2+2．联立解得r=2，k=1（不合题意），舍去，因此数列{an}不是等比数列

（3）解：证明：r=2时，2（n﹣1）Sn+1=（n2+n）an+（n2﹣n﹣2）a1，∴2S3=6a2，4S4=12a3+4a1，6S5=20a4+10a1．

化为：a1+a3=2a2，a2+a4=2a3，a3+a5=2a4．假设数列{an}的前n项成等差数列，公差为d．

则2（n﹣1） =（n2+n）[a1+（n﹣1）d]+（n2﹣n﹣2）a1，化为an+1=a1+（n+1﹣1）d，

因此第n+1项也满足等差数列的通项公式，

综上可得：数列{an}成等差数列

【解析】（1）n=1时，r（1﹣p）（a1+a2）=2a1﹣2a1 ， 其中r，p∈R，且r≠0．又|a1|≠|a2|．可得1﹣p=0，解得p．（2）设an=kan﹣1（k≠±1），r（n﹣1）Sn+1=（n2+n）an+（n2﹣n﹣2）a1 ， 可得rS3=6a2 ， 2rS4=12a3+4a1 ， 化为：r（1+k+k2）=6k，r（1+k+k2+k3）=6k2+2．联立解得r，k，即可判断出结论．（3）r=2时，2（n﹣1）Sn+1=（n2+n）an+（n2﹣n﹣2）a1 ， 可得2S3=6a2 ， 4S4=12a3+4a1 ， 6S5=20a4+10a1 ． 化为：a1+a3=2a2 ， a2+a4=2a3 ， a3+a5=2a4 ． 假设数列{an}的前n项成等差数列，公差为d．利用已知得出an+1 ， 即可证明．
【考点精析】通过灵活运用等差关系的确定和等比关系的确定，掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列；等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断即可以解答此题．