Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD中底面四边形ABCD是正方形，各侧面都是边长为2的正三角形，M是棱PC的中点．建立空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题：
（1）求证：PA∥平面BMD；
（2）求二面角M﹣BD﹣C的平面角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结AC、BD交于点O，连结OP．

∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD∵PA=PC，∴OP⊥AC，

同理OP⊥BD，

以O为原点， 分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz，

，

，

平面BMD的法向量为 ，

∵ ， ，又PA平面BMD，

∴PA∥平面BMD

（2）解：平面ABCD的法向量为

平面MBD的法向量为 ，

则 ，即 ，

∴ …（9分）

二面角M﹣BD﹣C的平面角为α，

则 ，α=45°

∴二面角M﹣BD﹣C的平面角45°

【解析】（1）连结AC、BD交于点O，连结OP，以O为原点， 分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能证明PA∥平面BMD．（2）求出平面ABCD的法向量和平面MBD的法向量，利用向量法能求出二面角M﹣BD﹣C的平面角．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．