Question

已知函数（ω＞0），直线x=x₁，x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为．
（I）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换把函数f（x）的解析式化为，根据周期求出ω=2，从而得到．
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个个单位后，得到 y==的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，可得
，函数y=g（x）与y=-k在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可得实数k的取值范围．
解答：解：（Ⅰ） ，-------（3分）
由题意知，最小正周期，又，所以ω=2，
∴．-------------（6分）
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个个单位后，得到 y==的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，．---------（9分）
令，∵，∴，g（x）+k=0，在区间上有且只有一个实数解，
即函数y=g（x）与y=-k在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知或-k=1
∴，或k=-1．--------（12分）
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．