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已知函数f(x)=x(x-
1
2
)的定义域为(n,n+1)(n∈N*),f(x)的函数值中所有整数的个数记为g(n).
(1)求出g(3)的值;
(2)求g(n)的表达式;
(3)若对于任意的n∈N*,不等式(Cn0+Cn1+…+Cnn)l≥g(n)-25(其中Cni,i=1,2,3,…,n为组合数)都成立,求实数l的最小值.
(1)当n≥1时,f(x)在[n,n+1]上是增函数,
n=1时,f(1)=
1
2
,f(2)=2×(2-
1
2
)=3;有整数1,2,故g(1)=2;
n=2时,f(3)=3×(3-
1
2
)=
15
2
,有整数4,5,6,7;故g(2)=4;
n=3时,f(4)=4×(4-
1
2
)=14,有整数8,9,10,11,12,13;故g(3)=6;
n=4时,f(5)=5×(5-
1
2
)=
45
2
,有整数15,16,17,18,19,10,21,22;故g(4)=8;
n=5时,f(6)=6×(6-
1
2
)=33,有整数23,24,25,26,27,28,29,30,31,32;故g(5)=10;
(2)∴g(n)=2n.
(3)∴(Cn0+Cn1+…+Cnn)l≥g(n)-25?2n•L≥2n-25?L≥
2n-25
2n

an=
2n-25
2n

则an+1-an=
2(n+1)-25
2n+1
-
2n-25
2n
=
27-2n
2n+1

n≤13时,an+1-an>0,{an}递增;
n≥14时,an+1-an<0,{an}递减;
n=13时,an有最大值,a13=
2×13-25
213
=
1
213

∴L的最小值为
1
213
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
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x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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