Question

设函数f（x）=|2x+1|+|x-a|（a∈R）．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤4；
（2）当a＜-

1

2

时，若存在x≤-

1

2

使得f（x）+x≤3成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,推理和证明

分析：（1）运用函数的零点分区间，讨论当x≥2、x≤-

1

2

、-

1

2

＜x＜2时，化简不等式解得，最后求并集即可；
（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最小值，即可解出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=2时，f（x）=|2x+1|+|x-2|，
当x≥2时，f（x）≤4，即为（2x+1）+（x-2）≤4，即x≤

5

3

成立，则有2≤x≤

5

3

；
当x≤-

1

2

时，f（x）≤4，即为-（2x+1）-（x-2）≤4，即x≥-1，则-1≤x≤-

1

2

；
当-

1

2

＜x＜2时，f（x）≤4，即为（2x+1）-（x-2）≤4，即x≤1，则有-

1

2

＜x≤1．
则原不等式的解集为[-1，1]；
（2）由a＜-

1

2

，x≤-

1

2

可得f（x）=

-2x+a-1，x＜a -a-1，a≤x≤- 1 2

，
∵存在x≤-

1

2

使得f（x）+x≤3成立，
∴3≥|f（x）+x|_min=-a-1，
∴求得a≥-4，
则a的取值范围为[-4，-

1

2

）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的存在性问题，注意与恒成立问题的区别，属于中档题和易错题．