Question

2．函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，且a＞0）．
（1）若f（-1）=0，且f（x）=0有且仅有一个实数根，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）若f（x）为偶函数，设F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），（x＞0）}\\{-f（x），（x＜0）}\end{array}\right.$，mn＜0，m+n＞0，试比较F（m）+F（n）的值与0的大小．

Answer 1

分析 （1）f（-1）=0⇒a-b+1=0，又f（x）=0有且仅有一个实数根，即最小值为0⇒4a-b²=0，求出f（x）的表达式再求F（x）的表达式即可；
（2）把g（x）的对称轴求出和区间端点值进行分类讨论即可．
（3）把F（m）+F（n）转化为f（m）-f（n）=a（m²-n²）再利用m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0来判断即可．

解答 解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0①（1分）
又f（x）=0有且仅有一个实数根，
所以a≠0，$\frac{4a{-b}^{2}}{4a}$=0即4a-b²=0②
由①②得a=1，b=2（3分）
∴f（x）=x²+2x+1=（x+1）²．（5分）
（2）由（1）有g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1=（x+$\frac{2-k}{2}$）²+1-$\frac{{（2-k）}^{2}}{4}$，（7分）
当$\frac{k-2}{2}$≥2或$\frac{k-2}{2}$≤-2时，
即k≥6或k≤-2时，g（x）是具有单调性．（9分）
（3）∵f（x）为偶函数，∴b=0，
∴f（x）=ax²+1，∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{ax}^{2}+1，x＞0}\\{-{ax}^{2}-1，x＜0}\end{array}\right.$，（11分）
∵m＞0，n＜0，则m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞-n＞0，
∴|m|＞|-n|（13分）
∴F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=（am²+1）-an²-1=a（m²-n²）＞0，
∴F（m）+F（n）＞0．（16分）．

点评 本题是对二次函数性质的综合考查．其中（1）考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．