Question

18、如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E，E₁分别是棱AD，AA₁的中点．
（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE₁∥平面FCC₁；
（2）证明：平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

分析：（1）取A₁B₁的中点为F₁，连接FF₁，C₁F₁，要证明直线EE₁∥平面FCC₁，只需证明EE₁∥F₁C，就证明了EE₁∥平面FCC₁内的直线，即可推得结论；
（2）要证明平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C，只需证明AC⊥BC，AC⊥CC₁，即可．

解答：证明：（1）方法一：取A₁B₁的中点为F₁，连接FF₁，C₁F₁，
由于FF₁∥BB₁∥CC₁，所以F₁∈平面FCC₁，因此平面FCC₁即为平面C₁CFF₁．
连接A₁D，F₁C，由于A₁F₁綊D₁C₁綊CD，所以四边形A₁DCF₁为平行四边形，因此A₁D∥F₁C．
又EE₁∥A₁D，得EE₁∥F₁C，而EE₁?平面FCC₁，F₁C?平面FCC₁，故EE₁∥平面FCC₁．
方法二：因为F为AB的中点，CD=2，AB=4，AB∥CD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC．又CC₁∥DD₁，FC∩CC₁=C，FC?平面FCC₁，CC₁?平面FCC₁，所以平面ADD₁A₁∥平面FCC₁，又EE₁?平面ADD₁A₁，所以EE₁∥平面FCC₁．

（2）连接AC，取F为AB的中点，在△FBC中，FC=BC=FB=2，
又F为AB的中点，所以AF=FC=FB=2，因此∠ACB=90°，即AC⊥BC．又AC⊥CC₁，且CC₁∩BC=C，所以AC⊥平面BB₁C₁C，而AC?平面D₁AC，故平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C．

点评：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．