Question

已知函数f（x）=cosx•sinx，给出下列五个说法：
①f（

1921π

12

）=

1

4

；
②若f（x₁）=-f（x₂），则x₁=-x₂；
③f（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上单调递增； 
④将函数f（x）的图象向右平移

3π

4

个单位可得到y=

1

2

cos2x的图象；
⑤f（x）的图象关于点（-

π

4

，0）成中心对称．
其中正确说法的序号是

①

．

Answer 1

分析：利用三角公式和三角函数的图象和性质分别进行判断即可．

解答：解：f（x）=cosx•sinx=

1

2

sin2x，为奇函数．
①f（

1921π

12

）=f（

π

12

）=

1

2

sin

π

6

=

1

2

×

1

2

=

1

4

，正确；
②由f（x₁）=-f（x₂）=f（-x₂），知x₁=-x₂+2kπ?或x₁=π-x₂+2kπ?，k∈Z；所以②错误．
③令-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，得-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ，由复合函数性质知f（x）在每一个闭区间[-

π

4

+kπ，

π

4

+kπ]上单调递增，但[-

π

6

，

π

3

]?[-

π

4

+kπ，

π

4

+kπ]，故函数f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上不是单调函数；所以③错误．
④将函数f（x）的图象向右平移

3π

4

个单位可得到y=

1

2

sin?2(x-

3π

4

)=

1

2

sin?(2x-

3π

2

)=

1

2

cos?2x，所以④错误；
⑤函数的对称中心的横坐标满足2x₀=kπ，解得x0=

kπ

2

，即对称中心坐标为(

kπ

2

，0)，则点（-

π

4

，0）不是其对称中心．所以⑤错误．
故答案为①．

点评：本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，利用三角函数的图象和性质是解决三角函数题目的关键．