Question

20．（1）若（x+$\frac{1}{x}$）ⁿ开式中第3项和第7项的二项式系数相等，求展开式中x^-2系数．
（2）若将函数f（x）=x⁵表示为f（x）=a₀+a₁（1+x）+a₂（1+x）²+…+a₅（1+x）⁵，求a₃．
（3）已知（x+$\frac{a}{x}$）（2x-$\frac{1}{x}$）⁵的展开式中各项系数的和为2，求该展开式中x²的系数．

Answer 1

分析 由条件利用二项式展开式的通项公式，求得结果．

解答 解：（1）若（x+$\frac{1}{x}$）ⁿ开式中第3项和第7项的二项式系数相等，则${C}_{n}^{2}$=${C}_{n}^{6}$，∴n=8，
故展开式通项公式为 T_r+1=${C}_{8}^{r}$x^8-2r，令8-2r=-2，求得r=5，故展开式中x^-2系数为${C}_{8}^{5}$=${C}_{8}^{3}$=56．
（2）若将函数f（x）=x⁵表示为f（x）=[-1+（x+1）]⁵=a₀+a₁（1+x）+a₂（1+x）²+…+a₅（1+x）⁵，
∴a₃=${C}_{5}^{3}$•（-1）²=10．
（3）令x=1，可得（x+$\frac{a}{x}$）（2x-$\frac{1}{x}$）⁵的展开式中各项系数的和为（a+1）•（2-1）⁵=2，∴a=1，
故二项式（x+$\frac{a}{x}$）（2x-$\frac{1}{x}$）⁵，即（x+$\frac{1}{x}$）（2x-$\frac{1}{x}$）⁵ ，它的通项公式为T_r+1=（x+$\frac{1}{x}$）•[${C}_{5}^{0}$•2⁵•x⁵-${C}_{5}^{1}$•2⁴•x³+${C}_{5}^{2}$•2³•x-${C}_{5}^{3}$•2²•x^-1+${C}_{5}^{4}$•2•x^-3-${C}_{5}^{5}$x^-5]，
求该展开式中x²的系数为-${C}_{5}^{1}$•2⁴+${C}_{5}^{2}$•2³=0．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．