【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F的直线l交C于A,B两点,交x轴于点D,B到x轴的距离比|BF|小1.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)若S△BOF=S△AOD , 求l的方程.
【答案】解:(Ⅰ)解法一:抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F(0, ),C的准线方程为
, 由抛物线的定义,可知|BF|等于点B到C的准线的距离.
又因为点B到x轴的距离比|BF|小1,
所以点B到x轴的距离比点B到抛物线准线的距离小1,
故 ,解得p=2,
所以C的方程为x2=4y.
解法二:C的焦点为 ,
将 代入x2=2py,得x=p或x=﹣p,故
,
因为点B到x轴的距离比|BF|小1, ,即
,
解得p=2,所以C的方程为x2=4y,
经检验,抛物线的方程x2=4y满足题意.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得C的焦点为F(0,1),设直线l的方程为y=kx+1(k≠0),A(x1 , y1),B(x2 , y2).则 .
联立方程组 消去y,得x2﹣4kx﹣4=0.
△=(﹣4k)2﹣4×1×(﹣4)=16k2+16>0,
由韦达定理,得x1+x2=4k,x1x2=﹣4.
设点O到直线l的距离为d,则 ,
.
又S△BOF=S△AOD , 所以|BF|=|AD|.
又A,B,D,F在同一直线上,所以 ,即
,
因为 ,
所以 ,整理,得16k4+16k2﹣1=0,
故 ,解得
,
所以l的方程为
【解析】(Ⅰ)解法一:由抛物线的焦半径公式,点B到x轴的距离比点B到抛物线准线的距离小1, ,即可求得p的值,求得抛物线方程; 解法二:将
代入x2=2py,得x=p或x=﹣p,故
,由点B到x轴的距离比|BF|小1,
,即
,即可求得p的值,求得抛物线方程;(Ⅱ)设直线l的方程,代入抛物线方程,由S△BOF=S△AOD , 则|BF|=|AD|.利用韦达定理可得:
,即
,则两边平方,即可求得k的值,求得直线l的方程.
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【题目】在直角坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
:
,已知过点
的直线
的参数方程为:
(
为参数),直线
与曲线
分别交于
两点.
(1)写出曲线和直线
的普通方程;
(2)若,
,
成等比数列,求
的值.
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【题目】已知直线PA,PB分别与半径为1的圆O相切于点A,B,PO=2, .若点M在圆O的内部(不包括边界),则实数λ的取值范围是( )
A.(﹣1,1)
B.
C.
D.(0,1)
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【题目】已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中不正确的命题是( )
A.若,则△ABC一定是等边三角形
B.若,则△ABC一定是锐角三角形
C.若,则△ABC一定是等腰三角形
D.若,则△ABC一定是等腰三角形或直角三角形
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (α为参数);在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ.
(Ⅰ)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(Ⅱ)若射线l:y=kx(x≥0)分别交C1 , C2于A,B两点(A,B异于原点).当 时,求|OA||OB|的取值范围.
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【题目】甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛,假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为
,各局比赛结果相互独立.
求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;
记为比赛决出胜负时的总局数,求
的分布列和均值(数学期望).
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【题目】某零售店近5个月的销售额和利润额资料如下表:
商店名称 | |||||
销售额 | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
利润额 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
(1)画出散点图.观察散点图,说明两个变量有怎样的相关关系;
(2)用最小二乘法计算利润额关于销售额
的回归直线方程;
(3)当销售额为4千万元时,利用(2)的结论估计该零售店的利润额(百万元).
[参考公式:,
]
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