Question

17．在三角形ABC中，如果sin²A+sin²B=sin（A+B），且A，B都是锐角，则A+B的值为（　　）

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． π
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 利用两角和差的正弦公式，根据三角函数的关系式分别把判断0°＜A+B＜90°和90°＜A+B＜180°不成立，即可得到结论．

解答 解：由sin²A+sin²B=sin（A+B），得sin²A+sin²B=sinAcosB+cosAsinB，
若0°＜A+B＜90°，
则sinA＜sin（90°-B）=cosB，
sinB＜sin（90°-A）=cosA，
则sin²A+sin²B＜sinAcosB+cosAsinB，与sin²A+sin²B=sinAcosB+cosAsinB矛盾，
若90°＜A+B＜180°，
则90°-A＜B＜90°，
则cosA＜sinB，cosB＜sinA，
则sinAcosB+cosAsinB＜sinAsinA+sinBsinB=sin²A+sin²B，与sin²A+sin²B=sinAcosB+cosAsinB矛盾，
故A+B=90°，
故选：C

点评 本题主要考查三角函数值的化简和计算，根据条件分别判断0°＜A+B＜90°和90°＜A+B＜180°不成立是解决本题的关键．