Question

已知椭圆，过点M（0，3）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B．
（1）若l与x轴相交于点N，且A是MN的中点，求直线l的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），求当|AB|＜时，实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设A（x₁，y₁），因为A为MN的中点，且M的纵坐标为3，N的纵坐标为0，进而求得y_l，又根据点A在椭圆C上，
代入即可求得x₁，则点A的坐标可求．
（2）设直线AB的方程和点A，B，P的坐标，把直线方程与椭圆方程联立消去y，根据判别式大于0求得k的范围，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而表示出AB的长度，求得k的范围，进而根据+=λ可知（x₁，y₁）十（x₂，y₂）=λ（x₃，y₃），进而分当λ≠0和λ=0时根据k的范围确定λ的取值范围．
解答：解：（1）设A（x₁，y₁），
因为A为MN的中点，且M的纵坐标为3，N的纵坐标为0，
所以y_l=，
又因为点A（x_l，y_l）在椭圆C上，
所以x₁²+=1，即=1，解得x₁₌±，
则点A的坐标为（，）或（-，），
所以直线l的方程为6x-7y+21=0或6x+7y-21=0．
（2）设直线AB的方程为y=kx+3或x=0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），
当AB的方程为x=0时，|AB|=4＞，与题意不符．
当AB的方程为y=kx+3时：
由题设可得A、B的坐标是方程组的解，
消去y得（4+k²）x²+6kx+5=0，
所以△=（6k）²-20（4+k²）＞0，即k²＞5，
则x₁+x₂=，x₁•x₂=，y₁+y₂=（kx₁+3）+（kx₂+3）=
因为|AB|=，
所以•，解得-＜k²＜8
所以5＜k²＜8．
因为+=λ，即（x₁，y₁）十（x₂，y₂）=λ（x₃，y₃），
所以当λ=0时，由+=0，得x₁+x₂==0，y₁+y₂==0，
上述方程无解，所以此时符合条件的直线l不存在；
当λ≠0时，x₃==-，y₃=
因为点P（x₃，y₃）在椭圆上，
所以[]²+[]²=1化简得λ²=，
因为5＜k²＜8，所以3＜λ²＜4，
则λ∈（-2，-）∪（，2）．
综上，实数λ的取值范围为（-2，-）∪（，2）．
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，直线与椭圆的关系，解析几何的知识，解不等式．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．