【题目】在圆上任取一点,过点向轴作垂线段,垂足为,当点在圆上运动时,线段的中点的轨迹为.
(1)求曲线的方程;
(2)过点(0,-2)作直线与交于两点,(O为原点),求三角形面积的最大值,并求此时的直线的方程.
【答案】(1) (2)最大面积为1,方程为
【解析】
(1)利用代入法求曲线的方程.(2)先求出三角形面积的解析式和k的范围,再求其最大值和此时直线的方程.
(1)设M(x,y)是曲线C上任一点,
因为PQ⊥x轴,M是PQ的中点,所以点P的坐标为(x,2y).
因为点P在圆x2+y2=4上,所以x2+(2y)2=4.
所以曲线C的方程是+y2=1.
(2当直线l的斜率不存在时显然不符合题意;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-2,与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
由得(1+4k2)x2-16kx+12=0,
由Δ=162k2-48(1+4k2)>0,得k2>.
所以x1+x2=,x1x2=.
因为S△OAB=|OD||x1-x2|=|x1-x2|=
=4.令4k2-3=t,则4k2=t+3(由上可知t>0),
SOANB=4=4,
当且仅当t=4,即k2=时取等号;
所以当k=±时三角形OAB面积的最大值为1,
此时直线l的方程为y=±x-2.
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【题目】已知a≥3,函数F(x)=min{2|x﹣1|,x2﹣2ax+4a﹣2},其中min(p,q)=
(1)求使得等式F(x)=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围
(2)(1)求F(x)的最小值m(a)
(3)求F(x)在[0,6]上的最大值M(a)
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【题目】某人上午7时乘船出发,以匀速海里/小时 从港前往相距50海里的港,然后乘汽车以匀速千米/小时()自港前往相距千米的市,计划当天下午4到9时到达市.设乘船和汽车的所要的时间分别为、小时,如果所需要的经费 (单位:元)
(1)试用含有、的代数式表示;
(2)要使得所需经费最少,求和的值,并求出此时的费用.
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【题目】等差数列{an}的前n项和为Sn , 若a7>0,a8<0,则下列结论正确的是( )
A.S7<S8
B.S15<S16
C.S13>0
D.S15>0
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【题目】已知Sn表示数列{an}的前n项和,若对任意的n∈N*满足an+1=an+a2 , 且a3=2,则S2016=( )
A.1006×2013
B.1006×2014
C.1008×2015
D.1007×2015
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2﹣4x=0及点A(﹣1,0),B(1,2)
(1)若直线l平行于AB,与圆C相交于M,N两点,MN=AB,求直线l的方程;
(2)在圆C上是否存在点P,使得PA2+PB2=12?若存在,求点P的个数;若不存在,说明理由.
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