Question

5．已知函数f（x）=2x³-3（k+1）x²+6kx+t，其中k，t为实数．
（1）若函数f（x）在x=2处有极小值0，求k，t的值；
（2）已知k≥1且t=1-3k，如果存在x₀∈（1，2]，使得f'（x₀）≤f（x₀）成立，求实数t的取值范围；
（3）记函数H（x）=[f（x）-t-2]•[$\frac{1}{6}$f'（x）-（$\frac{1}{2}$k-1）x-k]，若函数y=H（x）有5个不同的零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于k，t的方程，解出即可；
（2）问题转化为$2x_0^2-（3k+7）{x_0}+9k-1≥0$在x₀∈（1，2]上有解，设$g（{x_0}）=2x_0^2-（3k+7）{x_0}+9k-1$，根据函数的单调性求出t的范围即可；
（3）由题意2x³-3（k+1）x²+6kx-2=0有三个不相等的实根且x≠0，$x≠\frac{3}{2}k$，设m（x）=2x³-3（k+1）x²+6kx-2，根据函数的单调性求出k的范围即可．

解答 解：（1）f'（x）=6x²-6（k+1）x+6k=6（x-1）（x-k），
由题意：f（2）=0，f'（2）=0，
即2-k=0，16-12（k+1）+12k+t=0，
解得k=2，t=-4，经检验适合．
（2）由题意：$6（{x_0}-1）（{x_0}-k）≤2x_0^3-3（k+1）x_0^2+6k{x_0}+t$在x₀∈（1，2]上有解，
即$6（{x_0}-1）（{x_0}-k）≤2x_0^3-3（k+1）x_0^2+6k{x_0}+1-3k$在x₀∈（1，2]上有解，
即$6（{x_0}-1）（{x_0}-k）≤（{x_0}-1）[2x_0^2-（3k+1）{x_0}+3k-1]$在x₀∈（1，2]上有解，
因为x₀∈（1，2]，所以x₀-1＞0，所以$2x_0^2-（3k+7）{x_0}+9k-1≥0$在x₀∈（1，2]上有解，
设$g（{x_0}）=2x_0^2-（3k+7）{x_0}+9k-1$，
g′（x₀）=4x₀-（3k+7），
∵k≥1，x₀∈（1，2]，∴g′（x₀）＜0在（1，2]恒成立，
∴g（x₀）在x₀∈（1，2]上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＞0}\\{g（2）≤0}\end{array}\right.$，∴1＜k≤$\frac{7}{3}$，∴-6≤t=1-3k＜-2；
（3）因为$H（x）=[2{x^3}-3（k+1）{x^2}+6kx-2]•（{x^2}-\frac{3}{2}kx）=0$，
所以2x³-3（k+1）x²+6kx-2=0或x=0或$x=\frac{3}{2}k$，
由题意2x³-3（k+1）x²+6kx-2=0有三个不相等的实根且x≠0，$x≠\frac{3}{2}k$，
设m（x）=2x³-3（k+1）x²+6kx-2，
所以m'（x）=6x²-6（k+1）x+6k=6（x-1）（x-k），
令m'（x）=0得x=1，x=k，
因为m（x）=0有三个不相等的实根且x≠0，$x≠\frac{3}{2}k$，
所以m（1）•m（k）＜0，所以$k＜-\sqrt{2}$或$k＞\sqrt{2}$，
又因为m（0）≠0且$m（\frac{3}{2}k）≠0$，所以$k≠±\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
所以$k＜-\sqrt{2}$或$k＞\sqrt{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．