精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
5.已知函数f(x)=2x3-3(k+1)x2+6kx+t,其中k,t为实数.
(1)若函数f(x)在x=2处有极小值0,求k,t的值;
(2)已知k≥1且t=1-3k,如果存在x0∈(1,2],使得f'(x0)≤f(x0)成立,求实数t的取值范围;
(3)记函数H(x)=[f(x)-t-2]•[$\frac{1}{6}$f'(x)-($\frac{1}{2}$k-1)x-k],若函数y=H(x)有5个不同的零点,求实数k的取值范围.

分析 (1)求出函数的导数,得到关于k,t的方程,解出即可;
(2)问题转化为$2x_0^2-(3k+7){x_0}+9k-1≥0$在x0∈(1,2]上有解,设$g({x_0})=2x_0^2-(3k+7){x_0}+9k-1$,根据函数的单调性求出t的范围即可;
(3)由题意2x3-3(k+1)x2+6kx-2=0有三个不相等的实根且x≠0,$x≠\frac{3}{2}k$,设m(x)=2x3-3(k+1)x2+6kx-2,根据函数的单调性求出k的范围即可.

解答 解:(1)f'(x)=6x2-6(k+1)x+6k=6(x-1)(x-k),
由题意:f(2)=0,f'(2)=0,
即2-k=0,16-12(k+1)+12k+t=0,
解得k=2,t=-4,经检验适合.
(2)由题意:$6({x_0}-1)({x_0}-k)≤2x_0^3-3(k+1)x_0^2+6k{x_0}+t$在x0∈(1,2]上有解,
即$6({x_0}-1)({x_0}-k)≤2x_0^3-3(k+1)x_0^2+6k{x_0}+1-3k$在x0∈(1,2]上有解,
即$6({x_0}-1)({x_0}-k)≤({x_0}-1)[2x_0^2-(3k+1){x_0}+3k-1]$在x0∈(1,2]上有解,
因为x0∈(1,2],所以x0-1>0,所以$2x_0^2-(3k+7){x_0}+9k-1≥0$在x0∈(1,2]上有解,
设$g({x_0})=2x_0^2-(3k+7){x_0}+9k-1$,
g′(x0)=4x0-(3k+7),
∵k≥1,x0∈(1,2],∴g′(x0)<0在(1,2]恒成立,
∴g(x0)在x0∈(1,2]上单调递减,
∴$\left\{\begin{array}{l}{g(1)>0}\\{g(2)≤0}\end{array}\right.$,∴1<k≤$\frac{7}{3}$,∴-6≤t=1-3k<-2;
(3)因为$H(x)=[2{x^3}-3(k+1){x^2}+6kx-2]•({x^2}-\frac{3}{2}kx)=0$,
所以2x3-3(k+1)x2+6kx-2=0或x=0或$x=\frac{3}{2}k$,
由题意2x3-3(k+1)x2+6kx-2=0有三个不相等的实根且x≠0,$x≠\frac{3}{2}k$,
设m(x)=2x3-3(k+1)x2+6kx-2,
所以m'(x)=6x2-6(k+1)x+6k=6(x-1)(x-k),
令m'(x)=0得x=1,x=k,
因为m(x)=0有三个不相等的实根且x≠0,$x≠\frac{3}{2}k$,
所以m(1)•m(k)<0,所以$k<-\sqrt{2}$或$k>\sqrt{2}$,
又因为m(0)≠0且$m(\frac{3}{2}k)≠0$,所以$k≠±\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$,
所以$k<-\sqrt{2}$或$k>\sqrt{2}$.

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,是一道综合题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

15.已知定义在R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,当-1≤x<0时,f(x)=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$(-x),则方程f(x)-$\frac{1}{2}$=0在(0,6)内的零点之和为(  )
A.8B.10C.12D.16

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

16.己知函数f(x)图象如图所示,写出该函数的单调区间及在各个单调区间的单调性,比较f(1)和f(2),f(-1)和f(-2)的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

13.函数y=$\frac{cosx}{2-sinx}$的值域是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\frac{\sqrt{3}}{3}$].

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

20.0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,其中0,1不能相邻的不同排法数为(  )
A.36B.24C.54D.27

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

10.在周长为16的扇形中,当扇形的面积取最大值时,扇形的半径为(  )
A.2B.3C.4D.5

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

17.不等式3x+2y-6≤0表示的区域是(  )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

14.已知函数f(x)=x3lnx+m有2个零点,则m的取值范围是(  )
A.(-∞,$\frac{1}{{e}^{3}}$)B.($\frac{1}{{e}^{3}}$,+∞)C.(-∞,$\frac{1}{3e}$)D.($\frac{1}{3e}$,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

15.已知l1的斜率是3,l2过点P(-5,4),Q(4,y),且l1⊥l2,则log9y=0.

查看答案和解析>>

同步练习册答案