【题目】已知函数.
(1)当时,证明: 为偶函数;
(2)若在上单调递增,求实数的取值范围;
(3)若,求实数的取值范围,使在上恒成立.
【答案】(1)见解析;(2);(3).
【解析】试题分析:(1)代入,根据函数奇偶性的定义,即可判定为偶函数;
(2)利用函数单调性的定义,求得函数在上单调递增,进而得到对任意的恒成立,即可求解实数的取值范围;
(3)由(1)、(2)知函数的最小值,进而得,设,得不等式恒成立,等价于,进而恒成立,利用二次函数的性质即可求解实数的取值范围.
试题解析:
(1)当时, ,定义域关于原点对称,
而,说明为偶函数;
(2)在上任取、,且,
则,
因为,函数为增函数,得, ,
而在上单调递增,得, ,
于是必须恒成立,
即对任意的恒成立,
;
(3)由(1)、(2)知函数在上递减,在上递增,
其最小值,
且,
设,则,
于是不等式恒成立,等价于,
即恒成立,
而,仅当,即时取最大值,
故
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【题目】已知f(x)=ex﹣ax2﹣2x+b(e为自然对数的底数,a,b∈R).
(Ⅰ)设f′(x)为f(x)的导函数,证明:当a>0时,f′(x)的最小值小于0;
(Ⅱ)若a<0,f(x)>0恒成立,求符合条件的最小整数b.
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【题目】如图所示,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.
(1)求证:BD⊥AD;
(2)若AC=BD,AB=6,求弦DE的长.
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【题目】从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50度至350度之间,频率分布直方图如图所示.
(1)根据直方图求x的值,并估计该小区100户居民的月均用电量(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)从该小区已抽取的100户居民中,随机抽取月用电量超过250度的3户,参加节约用电知识普及讲座,其中恰有ξ户月用电量超过300度,求ξ的分布列及期望.
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【题目】已知函数f(x)=xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x.
(1)若a= ,求函数f(x)的单调区间;
(2)若x∈[1,+∞)时恒有f(x)≤a﹣1,求a的取值范围.
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【题目】“微信运动”是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况(步数里程)的公众号用户通过该公众号可查看自己某时间段的运动情况.某人根据2018年1月至2018年11月期间每月离步的里程(单位:十公里)的数据绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论正确的是( )
A.月跑步里程逐月增加
B.月跑步里程最大值出现在10月
C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小,变化比较平稳
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【题目】已知函数f(x)=x﹣lnx+a﹣1,g(x)= +ax﹣xlnx,其中a>0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x≥1时,g(x)的最小值大于 ﹣lna,求a的取值范围.
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【题目】据某市供电公司数据,2019年1月份市新能源汽车充电量约270万度,同比2018年增长,为了增强新能源汽车的推广运用,政府加大了充电桩等基础设施的投入.现为了了解该城市充电桩等基础设施的使用情况,随机选取了200个驾驶新能源汽车的司机进行问卷调查,根据其满意度评分值(百分制)按照,,…,分成5组,制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值并估计样本数据的中位数;
(2)已知满意度评分值在内的男女司机人数比为,从中随机抽取2人进行座谈,求2人均为女司机的概率.
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【题目】选修4﹣4:极坐标与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为 ,曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a(a>0),射线 , 与曲线C1分别交异于极点O的四点A,B,C,D.
(Ⅰ)若曲线C1关于曲线C2对称,求a的值,并把曲线C1和C2化成直角坐标方程;
(Ⅱ)求|OA||OC|+|OB||OD|的值.
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