Question

i虚数单位，在1，2，3…，2012中有    个正整数n使得（1+i）²ⁿ=-2ⁿ•i成立．

Answer 1

【答案】分析：由（1+i）²=2i，（1+i）²ⁿ=（2i）ⁿ=2ⁿ•iⁿ=-2ⁿ•i，得n=4k+3，其中k为正整数，由此能够求出结果．
解答：解：（1+i）²=2i，（1+i）²ⁿ=（2i）ⁿ=2ⁿ•iⁿ=-2ⁿ•i，
所以iⁿ=-i，因为只有i^4k+3=-i，
得n=4k+3，其中k为正整数
1≤4k+3≤2012，解得：-≤k≤502.25
所以共有502个正整数满足条件．
故答案为：502．
点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．