Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣ ，其中a∈R
（1）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；
（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数h（x）=x﹣alnx+ 的定义域为（0，+∞），

h′（x）=1﹣ ﹣ = ，

①当1+a≤0，即a≤﹣1时，

h′（x）＞0，

故h（x）在（0，+∞）上是增函数；

②当1+a＞0，即a＞﹣1时，

x∈（0，1+a）时，h′（x）＜0；x∈（1+a，+∞）时，h′（x）＞0；

故h（x）在（0，1+a）上是减函数，在（1+a，+∞）上是增函数

（2）解：由（1）令h（x0）=f（x0）﹣g（x0），x0∈[1，e]，

①当a≤﹣1时，

存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为

h（1）=1+1+a＜0，

解得，a＜﹣2；

②当﹣1＜a≤0时，

存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为

h（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2；

③当0＜a≤e﹣1时，

存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为

h（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，无解；

④当e﹣1＜a时，

存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为

h（e）=e﹣a+ ＜0，

解得，a＞ ；

综上所述，

a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（ ，+∞）

【解析】（1）先求函数h（x）的定义域，求出函数h（x）的导数，从而讨论判断函数的单调性；（2）分类讨论函数的单调性，从而化存在性问题为最值问题，从而解得．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．