Question

在平面直角坐标系中，已知曲线C₁：

x=cosφ y=sinφ

（φ为参数），经过坐标变换

x′=2x y′= 3 y

得到曲线C₂．A，B是曲线C₂上两点，且OA⊥OB．
（1）求曲线C₁，C₂的普通方程；
（2）求点O到直线AB的距离．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）首先，根据坐标变换，得到曲线C的参数方程，然后，消去参数，得到其普通方程；
（2）首先，建立极坐标系，写出椭圆的极坐标方程，然后，利用点到直线的距离公式求解和化简即可．

解答： 解：（1）根据曲线C₁：

x=cosφ y=sinφ

（φ为参数），得
x²+y²=1，
经过坐标变换

x′=2x y′= 3 y

得到曲线C₂：

x2

4

+

y2

3

=1，
（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位，建立极坐标系，
∴

ρ2cos2θ

a2

+

ρ2sin2θ

b2

=1，
∴ρ2=

1

cos2θ a2 + sin2θ b2

=

a2b2

b2cos2θ+a2sin2θ

设A（ρ₁，θ） B（ρ₂，θ+

π

2

），则
|AB|=

ρ12+ρ22

∴点O到直线AB的距离

|OA||OB|

|AB|

，
=

ρ1ρ2

ρ12+ρ22

=

1

1 ρ12 + 1 ρ22

=

ab

a2+b2

，
∴点O到直线AB的距离

ab

a2+b2

．

点评：本题重点考查了坐标变换、曲线C的参数方程、极坐标方程的应用等知识，属于中档题．