Question

【题目】已知焦点在x轴上的椭圆E经过点，且焦距为.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）直线与椭圆E交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线交y轴于点M，若，求m的值.

Answer 1

【答案】(1) (2) 或

【解析】

先根据焦距求出c，再根据点在椭圆上，以及，解得，，问题得以解决；
设，，线段AB的中点坐标为，，联立方程组，根据韦达定理和判别式，即可求出点C的坐标，根据弦长公式求出，即可求出的长，根据点到直线的距离公式求出，再根据直线垂直，二倍角公式可求出，再解直角三角形即可求出m的值．

由题意可得，解得，，，

故椭圆的标准方程为；

设，，线段AB的中点坐标为，，

联立，整理得：，

，

，
由韦达定理：，，

，

，

点C的坐标为，

又，

，

又，

，

，

垂直平分AB，

，

又，

解得或舍去，

在中，，

整理可得，

解得或．