Question

（2012•湖南模拟）某商场根据调查，估计家电商品从年初（1月）开始的x个月内累计的需求量p（x）（百件）为p(x)=

x

2

(39x-2x2+41)(1≤x≤12且x∈N*)
（1）求第x个月的需求量f（x）的表达式．
（2）若第x个月的消售量满足g(x)=

f(x)-21x，(1≤x＜7，x∈N*) x2 ex ( 1 3 x2-10x+96)，(7≤x≤12，x∈N*)

（单位：百件），每件利润q(x)=

100ex-6

x

元，求该商场销售该商品，求第几个月的月利润达到最大值？最大是多少？（e⁶取值为403）

Answer 1

分析：（1）利用f（x）=p（x）-p（x-1），可得第x个月的需求量f（x）的表达式．
（2）分类讨论，求得函数的最值，比较即可得到结论．

解答：解：（1）x≥2时，f（x）=p（x）-p（x-1）=-3x²+42x；当x=1时，p（x）=39，也满足
∴f（x）=-3x²+42x，（1≤x≤12，x∈N^*）
（2）设该商场第x个月的月利润为ω（x）元，则
1°当1≤x＜7，x∈N^*时，ω(x)=(-3x2+42x-21x)•

10000ex-6

x

=30000(7-x)ex-6（5分）
ω'（x）=30000（6-x）e^x-6，令ω'（x）=0，∴x=6
∴ω（x）在[1，6]上单调递增，在[6，7]上单调递减
∴ω（x）_max=ω（6）=30000（8分）
2°当7≤x≤12，x∈N^*时，ω(x)=

x2

ex

(

1

3

x2-10x+96)•

10000ex-6

x

=10000(

1

3

x3-10x2+96x)e-6
ω'（x）=10000（x-12）（x-8）e^-6，
∴ω（x）在[7，8]上单调递增，在[8，12]上单调递减
∴ω（x）_max=ω（8）＜30000（12分）
∴第6个月利润最大，是30000元 （13分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．