Question

如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：PB⊥平面EFD.

Answer 1

证明：（1）连结AC交BD于O，连结EO。
∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点。
又∵E是PC的中点
∴在中，EO为中位线
∴PA∥EO。                                         …………………….3分
而EO平面EDB，PA平面EDB，
∴PA∥平面EDB。                                    ……………………6分
（2）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC。
∵底面ABCD是正方形，
∴DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC，而DE平面PDC，
∴BC⊥DE。①                                       ……………………8分
PD＝DC，E是PC的中点，
∴是等腰三角形，DE⊥PC。②                  ……………………10分
由①和②得DE⊥平面PBC。
而PB平面PBC，
∴DE⊥PB。                                        ……………………12分
又EF⊥PB且DEEF＝E，
∴PB⊥平面EFD。

略