设
为实数，函数
(Ⅰ)求
的单调区间与极值；
(Ⅱ)求证：当
且
时，
(Ⅰ)的单调递减区间是
，单调递增区间是
,极小值为
;(Ⅱ) 见解析.
解析试题分析：(Ⅰ)直接根据导数和零的大小关系求得单调区间，并由单调性求得极值；(Ⅱ)先由导数判断出
在R内单调递增，说明对任意
，都有
，而
，从而得证.
试题解析：（１）解：由
知，
．
令
，得
.于是，当
变化时，
和
的变化情况如下表：
故
0 + 单调递减 
单调递增 的单调递减区间是，单调递增区间是．在处取得极小值，极小值为．
（２）证明：设
，于是
．
由（1）知，对任意
,都有
，所以在R内单调递增．
于是，当时，对任意，都有，而，
从而对任意，都有
，即
故
考点：1.利用导数研究函数的单调性；2. 利用导数求函数极值3.利用函数的最值证明不等式.
寒假创新型自主学习第三学期寒假衔接系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设函数f（x）＝
＋ax－lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a≥2时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意
及任意
，
∈[1，2]，恒有
成立，求实数m的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线
排，在路南侧沿直线
排，现要在矩形区域
内沿直线将与接通．已知
，
，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的
部分的排管费用为每米2万元，设与
所成的小于
的角为
．
（Ⅰ）求矩形区域内的排管费用
关于的函数关系式；
（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数f(x)＝aex，g(x)＝lnx－lna，其中a为常数，e＝2.718…，且函数y＝f(x)和y＝g(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行．
(1)求常数a的值；(2)若存在x使不等式
>
成立，求实数m的取值范围；
(3)对于函数y＝f(x)和y＝g(x)公共定义域内的任意实数x0，我们把|f(x0)－g(x0)|的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
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(其中
).
时,求函数
的单调区间和极值；
时，函数
上有且只有一个零点．
.
的单调性；
的值，使不等式
恒成立.
．
时，求函数
的单调区间；
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
（
，e是自然对数的底数）.
在（0，
）单调递减，求a的最小值 
.
的极值，并证明：若
有
； 
，且
，
，证明：
，
，由上述结论猜想一个一般性结论（不需要证明）；
，则
.