Question

函数f（x）=lnx-

1

x-1

在区间（k，k+1）（k∈N*）上存在零点，则k的值为（　　）

A．0

B．2

C．0或2

D．1或2

Answer 1

分析：利用导数求得函数f（x）在区间（0，1），及（1，+∞）都是单调增的，再根据 f（

1

e2

）＜0，f（

1

e

）＞0，可得 f（

1

e2

）f（

1

e

）＜0，故函数f（x）在区间
（

1

e2

，

1

e

）上有一个零点，故函数f（x）在区间（0，1）上有一个零点，故k=0满足条件．
同理由 f（2）f（3）＜0，可得函数在（2，3）上存在1个零点，故k=2满足条件，综合可得结论．

解答：解：由函数的解析式可得函数的定义域为{x|x＞0 且x≠1}，求得函数的导数f′（x）=

1

x

+

1

(x-1)2

 在它的定义域内为正实数，
故函数f（x）在区间（0，1），及（1，+∞）都是单调递增的，
再根据 f（

1

e2

）=-2-

1

1 e2 -1

=-2+

e2

e2-1

=-2+

(e2-1)+1

e2-1

=-1+

1

e2-1

＜0，f（

1

e

）=-1+

e

e-1

=-1+

(e-1)+1

e-1

=

1

e-1

＞0，
可得 f（

1

e2

）f（

1

e

）＜0，故函数f（x）在区间（

1

e2

 

1

e

）上有一个零点，故函数f（x）在区间（0，1）上有一个零点，故k=0满足条件．
再由 f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3-

1

2

＞0，f（2）f（3）＜0，可得函数在（2，3）上存在1个零点，故k=2满足条件．
故选 C．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数零点的判定定理的应用，属于基础题