考点:利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值
专题:计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析:(1)求导f′(x)=
,(x>0);从而讨论导数的正负以确定函数的单调性;
(2)由已知,在(0,2]上有f
max(x)<g
max(x),从而求导确定函数的最值,从而由最值确定a的取值范围.
解答:
解:(1)f′(x)=
,(x>0);
①当0
<a<时,
>2,增区间是(0,2)和(
,+∞),减区间是(2,
).
②当a=
时,f′(x)=
,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞).
③当a>
时,0<
<2,增区间是(0,
)和(2,+∞),减区间是(
,2).
(2)由已知,在(0,2]上有f
max(x)<g
max(x).
由已知,g
max(x)=0,
当a≤0时,x>0,ax-1<0,在区间(0,2]上,f′(x)>0;f(x)在(0,2]上单调递增,
结合(1)可知:
①当a≤
时,f(x)在(0,2]上单调递增,
故f
max(x)=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2=-2a-2+2ln2,
所以,-2a-2+2ln2<0,解得a>ln2-1,故ln2-1<a≤
.
②当a>
时,f(x)在(0,
]上单调递增,在[
,2]上单调递减,
故f
max(x)=f(
)=-2-
-2lna.
由a>
可知lna>ln
>ln
=-1,2lna>-2,-2lna<2,
所以,-2-2lna<0,f
max(x)<0,
综上所述,a>ln2-1.
点评:本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法,属于中档题.