Question

已知函数的图象恒过定点P，若幂函数f（x）=x^a的图象也过点P．
（1）求实数a的值；
（2）试用单调性定义证明：函数f（x）在区间（0，+∞）内是减函数．

Answer 1

解：（1）由已知P（，），
∴f（）=，
∴（）^a=，
∴a=-，
（2）f（x）=x
设0＜x₁＜x₂，则有
f（x₁）-f（x₂）=x₁-x₂==，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，＞0，
所以f（x₁）-f（x）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．
分析：（1）先由幂函数f（x）=x^a的图象经过点P（，），求出a；
（2）先在定义域上取值，再作差、变形，变形彻底后根据式子的特点，讨论判断符号、下结论．
点评：本题主要考查了利用待定系数求解幂函数的函数解析式，考查了函数单调性的证明方法：定义法，关键是变形一定彻底，直到能明显的判断出符号为止．属于基础试题．