Question

函数f（x），g（x）在区间[a，b]上都有意义，且在此区间上
①f（x）为增函数，f（x）＞0；
②g（x）为减函数，g（x）＜0．
判断f（x）g（x）在[a，b]的单调性，并给出证明．

Answer 1

分析：令a≤x₁＜x₂≤b，由f（x）、g（x）的单调性可得f（x₁）与f（x₂）的大小，g（x₂）与g（x₁）的大小，通过作差可判断
f（x₁）g（x₁）-f（x₂）g（x₂）的符号，由单调性的定义可得结论．

解答：解：减函数，
令a≤x₁＜x₂≤b，则有f（x₁）-f（x₂）＜0，即可得0＜f（x₁）＜f（x₂）；
同理有g（x₁）-g（x₂）＞0，即可得g（x₂）＜g（x₁）＜0；
从而有f（x₁）g（x₁）-f（x₂）g（x₂）
=f（x₁）g（x₁）-f（x₁）g（x₂）+f（x₁）g（x₂）-f（x₂）g（x₂）
=f（x₁）（g（x₁）-g（x₂））+（f（x₁）-f（x₂））g（x₂）（*），
显然f（x₁）（g（x₁）-g（x₂））＞0，（f（x₁）-f（x₂））g（x₂）＞0，
从而（*）式＞0，
故函数f（x）g（x）为减函数．

点评：本题考查函数单调性的判断及其证明，属中档题，定义是解决问题的基本方法，解答本题的关键是对f（x₁）g（x₁）-f（x₂）g（x₂）进行添加项作出恰当变形．