Question

若M为△ABC所在平面内一点，且满足(

MB

-

MC

)•(

MB

+

MC

)=0，

MB

+

MC

+2

MA

=

0

，则△ABC的形状为（　　）

A．正三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形

Answer 1

分析：根据(

MB

-

MC

)•(

MB

+

MC

)=0算出△MBC中MB=MC，△MBC是等腰三角形．而

MB

+

MC

+2

MA

=

0

，得到

MB

+

MC

=-2

MA

，代入第一个等式可得

CB

•2

MA

=0，从而得到BC⊥AM．再根据△MBC是等腰三角形，得到AM是BC的垂直平分线，可得AB=AC，而且M不是△ABC的重心，可得△ABC是等腰三角形且不是等边三角形，得到本题答案．

解答：解：∵(

MB

-

MC

)•(

MB

+

MC

)=0
∴

MB

2-

MC

2=|

MB

|2-|

MC

|2=0，可得|

MB

|=|

MC

|
由此可得△MBC中MB=MC，△MBC是等腰三角形
又∵

MB

+

MC

+2

MA

=

0

，可得

MB

+

MC

=-2

MA

∴结合(

MB

-

MC

)•(

MB

+

MC

)=0，得

CB

•2

MA

=0
由此可得BC所在直线与AM所在直线互相垂直，
∵AM与等腰△BMC的底边中线ME在一条直线上，
∴AM是BC的垂直平分线，可得AB=AC，得△ABC是等腰三角形
又∵

MB

+

MC

=-2

MA

，∴△ABC不是等边三角形
故选：B

点评：本题给出三角形中的向量式，叫我们判断三角形的形状，着重考查了平面向量的数量积计算性质和向量加减法的定义等知识，属于中档题．