Question

已知函数．
（1）试在函数f（x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-1，1]上；
（2）求证：（x∈R）

Answer 1

【答案】分析：（1）设所求两点的横坐标为x₁、x₂再利用切线的斜率之积为1：（2x₁²-1）（2x₂²-1）=-1，即可求得结果；
（2）因为|f（sinx）-f（cosx）|≤|f（sinx）|+|f（cosx）|，故欲求证（x∈R），只须探求|f（sinx）|和|f（cosx）|的取值范围即可，故只要利用导数研究函数f（x）的单调性即可．
解答：解：（1）设所求两点的横坐标为x₁，x₂且 （x₁＜x₂），则：（2x₁²-1）（2x₂²-1）=-1，
又∵x₁，x₂∈[-1，1]．∴2x²-1∈[-1，1]，2x₂²-1∈[-1，1]，∴2x₁²-1，2x₂²-1中一个为1，一个为-1，
∴或∴所求的两点为或
（2）易知：sinx∈[-1，1]，cosx∈[-1，1]
对函数??∴当时?
?f′（x）＜0，当时?f′（x）＞0
∴f（x）在为减函数，在上为增函数
又Z??Z
而f（x）在[-1，1]上为奇函数???
∴f（x）在[-1，1]上最大值为?，最小值为?
∴???????????
点评：本题主要考查了不等式的证明、利用导数研究函数的单调性，属于中档题．