Question

已知关于x的方程x²+（2+a）x+1+a+b=0的两根为x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂，则z=

a+b

a-b

的取值范围是

(-

1

3

，

1

5

)

．

Answer 1

分析：由题意可得 

f(0)＞0 f(1)＜0

，即

1+a+b＞0 4+2a+b＜0

，如图所示，由图可知

b

a

∈(-2，-

2

3

)，再由z=

a+b

a-b

=

1+ b a

1- b a

  在区间(-2，-

2

3

)上是增函数，求出z的范围．

解答：解：由方程x²+（2+a）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0，故函数f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b图象开口方向朝上．
又∵方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x₁＜1＜x₂，则

f(0)＞0 f(1)＜0

，
即

1+a+b＞0 1+2+a+1+a+b＜0

，即

1+a+b＞0 4+2a+b＜0

，如图所示：

∵

b

a

表示阴影区域上一点与原点连线的斜率，由图可知

b

a

∈(-2，-

2

3

)，
而z=

a+b

a-b

=

1+ b a

1- b a

  在区间(-2，-

2

3

)上是增函数，
而当

b

a

=-2时，z=-

1

3

，当

b

a

=-

2

3

 时，z=

1

5

，
则z=

a+b

a-b

的取值范围是 (-

1

3

，

1

5

)，
故答案：(-

1

3

，

1

5

)．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题