Question

已知函数f（x）为奇函数，且f（x）在 （0，+∞）上为增函数，f（2）=0，则（x²-x-2）f（x）＜0的解集为

（-1，0）∪（-∞，-2）

．

Answer 1

分析：由题意可得f（-2）=-f（2）=0，且f（x）在 （-∞，0）上为增函数，函数f（x）的图象如图所示，不等式即 （x-2）（x+1）f（x）＜0，分类讨论，求出不等式的解集．

解答：解：由题意可得f（-2）=-f（2）=0，且f（x）在 （-∞，0）上为增函数，函数f（x）的图象如图所示．
不等式（x²-x-2）f（x）＜0 即 （x-2）（x+1）f（x）＜0．
当x＜-2时，（x-2）（x+1）＞0，f（x）＜0，不等式（x-2）（x+1）f（x）＜0成立．
当-2＜x＜-1时，（x-2）（x+1）＞0，f（x）＞0，不等式（x-2）（x+1）f（x）＜0不成立．
当-1＜x＜0时，（x-2）（x+1）＜0，f（x）＞0，不等式（x-2）（x+1）f（x）＜0成立．
当 0＜x＜2时，（x-2）（x+1）＜0，f（x）＜0，不等式（x-2）（x+1）f（x）＜0不成立．
当 2＜x时，（x-2）（x+1）＞0，f（x）＞0，不等式（x-2）（x+1）f（x）＜0不成立．
综上可得，不等式的解集为 （-1，0）∪（-∞，-2），
故答案为 （-1，0）∪（-∞，-2）．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．