Question

12．已知f（x）是定义在实数集R上的可导函数，且其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x）在R上恒成立，则不等式ef（x）＞f（1）e^x上的解集为（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （-∞，1）
• C． （-1，1）
• D． （-∞，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 ef（x）＞f（1）e^x?$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，构造g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}f′（x）-{e}^{x}f（x）}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，故由g（x）的单调性得出答案．

解答 解：∵f′（x）＜f（x），∴$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，∴$\frac{{e}^{x}f′（x）-{e}^{x}f（x）}{（{e}^{x}）^{2}}$＜0，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}f′（x）-{e}^{x}f（x）}{（{e}^{x}）^{2}}$＜0，
∴g（x）在R上是减函数．
∵ef（x）＞f（1）e^x，
∴$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，即g（x）＞g（1）．
∴x＜1．
故选：B．

点评 本题考查了函数单调性与导数的关系，构造g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$是解题关键．