【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)证明:PB∥平面AEC;
(2)设AP=1,AD= ,三棱锥P﹣ABD的体积V= ,求A到平面PBC的距离.
【答案】
(1)
证明:设BD与AC 的交点为O,连结EO,
∵ABCD是矩形,
∴O为BD的中点
∵E为PD的中点,
∴EO∥PB.
EO平面AEC,PB平面AEC
∴PB∥平面AEC;
(2)
解:∵AP=1,AD= ,三棱锥P﹣ABD的体积V= ,
∴V= = ,
∴AB= ,PB= = .
作AH⊥PB交PB于H,
由题意可知BC⊥平面PAB,
∴BC⊥AH,
故AH⊥平面PBC.
又在三角形PAB中,由射影定理可得:
A到平面PBC的距离 .
【解析】(1)设BD与AC 的交点为O,连结EO,通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC;(2)通过AP=1,AD= ,三棱锥P﹣ABD的体积V= ,求出AB,作AH⊥PB角PB于H,说明AH就是A到平面PBC的距离.通过解三角形求解即可.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行即可以解答此题.
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【题目】已知函数
(1)当时,求的单调区间;
(2)令,区间, 为自然对数的底数。
(ⅰ)若函数在区间上有两个极值,求实数的取值范围;
(ⅱ)设函数在区间上的两个极值分别为和,
求证: .
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【题目】设{an}为单调递增数列,首项a1=4,且满足an+12+an2+16=8(an+1+an)+2an+1an , n∈N* , 则a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2n﹣1﹣a2n=( )
A.﹣2n(2n﹣1)
B.﹣3n(n+3)
C.﹣4n(2n+1)
D.﹣6n(n+1)
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【题目】以下三个关于圆锥曲线的命题中:
①设A,B为两个定点,K为非零常数,若|PA|﹣|PB|=K,则动点P的轨迹是双曲线.
②方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
③双曲线 与椭圆 +y2=1有相同的焦点.
④已知抛物线y2=2px,以过焦点的一条弦AB为直径作圆,则此圆与准线相切
其中真命题为(写出所以真命题的序号)
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【题目】已知抛物线的焦点为,倾斜角为的直线过点与拋物线交于两点, 为坐标原点, 的面积为.
(1)求;
(2)设点为直线与拋物线在第一象限的交点,过点作的斜率分别为的两条弦,如果,证明直线过定点,并求出定点坐标.
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【题目】已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, ,AF=1,M是线段EF的中点.
(1)求证:AM∥平面BDE;
(2)求证:AM⊥平面BDF.
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【题目】已知某工厂每天固定成本是4万元,每生产一件产品成本增加100元,工厂每件产品的出厂价定为元时,生产件产品的销售收入是(元),为每天生产件产品的平均利润(平均利润=总利润/总产量).销售商从工厂每件元进货后又以每件元销售, ,其中为最高限价, 为销售乐观系数,据市场调查, 是由当是, 的比例中项时来确定.
(1)每天生产量为多少时,平均利润取得最大值?并求的最大值;
(2)求乐观系数的值;
(3)若,当厂家平均利润最大时,求与的值.
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【题目】f(x)=2cos2x﹣2acosx﹣1﹣2a的最小值为g(a),a∈R
(1)求g(a);
(2)若g(a)= ,求a及此时f(x)的最大值.
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