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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.

(1)证明:PB∥平面AEC;
(2)设AP=1,AD= ,三棱锥P﹣ABD的体积V= ,求A到平面PBC的距离.

【答案】
(1)

证明:设BD与AC 的交点为O,连结EO,

∵ABCD是矩形,

∴O为BD的中点

∵E为PD的中点,

∴EO∥PB.

EO平面AEC,PB平面AEC

∴PB∥平面AEC;


(2)

解:∵AP=1,AD= ,三棱锥P﹣ABD的体积V=

∴V= =

∴AB= ,PB= =

作AH⊥PB交PB于H,

由题意可知BC⊥平面PAB,

∴BC⊥AH,

故AH⊥平面PBC.

又在三角形PAB中,由射影定理可得:

A到平面PBC的距离


【解析】(1)设BD与AC 的交点为O,连结EO,通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC;(2)通过AP=1,AD= ,三棱锥P﹣ABD的体积V= ,求出AB,作AH⊥PB角PB于H,说明AH就是A到平面PBC的距离.通过解三角形求解即可.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行即可以解答此题.

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