Question

已知集合A={y|y=-2^x，x∈[2，3]}，B={x|x²+3x-a²-3a＞0}．
（1）当a=4时，求A∩B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用函数的值域化简A，利用一元二次不等式的解化简B，最后利用交集的定义求出A∩B即可；
（2）题中条件：“A⊆B”说明集合A是集合B的子集，即不等式：|（x-a）（x+a+3）＞0的解集是B的子集，对a进行分类讨论，结合端点的不等关系列出不等式求解即可．

解答：解：（1）A=[-8，-4]（2分）
当a=4时，B={x|x²+3x-28＞0}={x|x＜-7或x＞4}，（4分）
∴A∩B=[-8，-7）（5分）
（2）B={x|（x-a）（x+a+3）＞0}
①当a=-

3

2

时，B={x|x∈R，x≠-

3

2

}，∴A⊆B恒成立；（8分）
②当a＜-

3

2

时，B={x|x＜a或x＞-a-3}
∵A⊆B，∴a＞-4或-a-3＜-8
解得a＞-4或a＞5（舍去）
所以-4＜a＜-

3

2

（11分）
③当a＞-

3

2

时，B={x|x＜-a-3或x＞a}
∵A⊆B，∴-a-3＞-4或a＜-8（舍去）
解得-

3

2

＜a＜1（13分）
综上，当A⊆B，实数a的取值范围是（-4，1）．（14分）

点评：本小题主要考查函数的值域、函数的定义域、不等式的解法、集合的包含关系判断及应用、交集及其运算等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于基础题．