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已知函数f(x)=ln(2+3x)-
3
2
ax2
,在x=
1
3
时取得极值,若关于x的方程f(x)=-2x+b在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围.
分析:利用函数在x=
1
3
时取得极值,可得函数解析式,由f(x)=-2x+b知ln(2+3x)-
3
2
x2+2x-b=0
,构建函数,利用导数确定函数的单调性,求出函数的最值,从而可建立不等式,即可求得实数b的取值范围.
解答:解:∵f′(x)=
3
2+3x
-3ax
,由f′(
1
3
)=0
,得a=1
f(x)=ln(2+3x)-
3
2
x2
(3分)
由f(x)=-2x+b知ln(2+3x)-
3
2
x2+2x-b=0
,(4分)
?(x)=ln(2+3x)-
3
2
x2+2x-b
,则?′(x)=
3
2+3x
-3x+2=
7-9x2
2+3x

x∈[0,
7
3
]
时,?'(x)>0,于是?(x)在[0,
7
3
]
上递增;当x∈[
7
3
,1]
时,?'(x)<0,于是?(x)在[
7
3
,1]
上递减,而?(
7
3
)>?(0)
?(
7
3
)>?(1)
(8分)
∴f(x)=-2x+b即?(x)=0在[0,1]上恰有两个不同实根等价于
?(0)=ln2-b≤0
?(
7
3
)=ln(2+
7
)-
7
6
+
2
7
3
-b>0
?(1)=ln5+
1
2
-b≤0
,(10分)
解得ln5+
1
2
≤b<ln(2+
7
)-
7
6
+
2
7
3
(12分)
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函数f(x)在P(0,f(0))的切线方程为y=5x+1,求实数a,b的值:
(2)当a<3时,令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
2
x2-alnx
的图象在点P(2,f(2))处的切线方程为l:y=x+b
(1)求出函数y=f(x)的表达式和切线l的方程;
(2)当x∈[
1
e
,e]
时(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求实数k的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a为常数),直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且l与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1.
(1)求直线l的方程及a的值;
(2)当k>0时,试讨论方程f(1+x2)-g(x)=k的解的个数.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设f(x)有两个极值点x1,x2,若过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b为实数,x∈R,a∈R.
(1)当1<a<2时,若f(x)在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的条件下,求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程;
(3)试讨论函数F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的极值点的个数.

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