Question

如图，已知曲线C：y=

1

x

，Cn：y=

1

x+2-n

(n∈N*)．从C上的点Q_n（x_n，y_n）作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1（x_n+1，y_n+1）．设x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n=y_n-y_n+1．
（I）求a₁，a₂，a₃的值；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）设△P_iQ_iQ_i+1（i∈N^*）和面积为Si，记f(n)=

n

i=1

Si，求证f(n)＜

1

6

.

Answer 1

分析：（I）由题意知Q1(1，1)，P1(1，

2

3

)，Q2(

3

2

，

2

3

)，P2(

3

2

，

4

7

)，Q3(

7

4

，

4

7

)，P3(

7

4

，

8

15

)，Q4(

15

8

，

8

15

)，由此可知a1=

1

2

，a2=

1

22

，a3=

1

23

.
（II）由（I）可猜想an=

1

2

(n∈N*)，然后用数学归纳法证明．
（III）由题意知x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）++（x₂-x₁）+x₁=2-(n-1)+2-(n-2)++2-1+1=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-21-n，由此可知an•bn=(xn+1-xn)•(yn-yn+1)=2-n(

1

xn

-

1

xn+1

)=

1

2n

(

1

2-21-n

-

1

2-2-n

)=

1

(2•2n-2)•(2•2n-1)

，所以Sn=

1

2

(a1b1+a2b2++anbn)≤

1

2

(

1

3×2

+

1

3×22

++

1

3×2n

)=

1

12

•

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=

1

6

(1-

1

2n

)＜

1

6

.

解答：解：（I）由题意知Q1(1，1)，P1(1，

2

3

)，Q2(

3

2

，

2

3

)，P2(

3

2

，

4

7

)，Q3(

7

4

，

4

7

)，P3(

7

4

，

8

15

)，Q4(

15

8

，

8

15

)，
∴a1=

1

2

，a2=

1

22

，a3=

1

23

.（2分）
（II）由（I）猜想an=

1

2

(n∈N*)，
下面用数学归纳法证明；
（1）当n=1时，a1=

1

2

已证得成立；
（2）假设当n=k时，猜想成立，
即ak=

1

2k

，由已知得：ak=

1

2k

=xk+1-xk.
当n=k+1时，由ak+1=xk+2-xk+1=

1

yk+2

-

1

yk+1

∵yk+2=

1

xk+1+2-k-1

，yk+1=

1

xk+2-k

，
∴a_k+1=（x_k+1+2^-k-1）-（x_k+2^-k）
=（x_k+1-x_k）+（2^-k-1-2^-k）
=2^-k+（2^-k-1-2^-k）
=2-k-1=

1

2k+1

.
所以当n=k+1时，猜想也成立，综合（1）（2）得an=

1

2n

(n∈N*)（6分）
（III）x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）++（x₂-x₁）+x₁=2-(n-1)+2-(n-2)++2-1+1=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-21-n（8分）
∴an•bn=(xn+1-xn)•(yn-yn+1)=2-n(

1

xn

-

1

xn+1

)=

1

2n

(

1

2-21-n

-

1

2-2-n

)=

1

(2•2n-2)•(2•2n-1)

∵2•2ⁿ-2≥2ⁿ，2•2ⁿ-1≥3，∴an•bn≤

1

3•2n

，（10分）
∴Sn=

1

2

(a1b1+a2b2++anbn)≤

1

2

(

1

3×2

+

1

3×22

++

1

3×2n

)=

1

12

•

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=

1

6

(1-

1

2n

)＜

1

6

.（12分）

点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．