Question

20．已知函数f（x）=|x³-1|+x³+ax（a∈R）
（1）解关于字母a的不等式[f（-1）]²≤f（2）；
（2）a=-12，求f（x）的单调区间
（3）若a＜0，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得原不等式即为（1-a）²≤2a+15，由二次不等式的解法可得解集；
（2）求出f（x）的解析式，讨论当x≥1时，当x＜1时，f（x）的解析式，求得单调区间即可；
（3）讨论，当a＜0，x＜1时，f（x）的解析式，判断最小值情况；当x≥1时，求出导数，求得极值点，讨论区间[1，+∞）与极值点的关系，由单调性可得最小值．

解答 解：（1）不等式[f（-1）]²≤f（2）即为：
（1-a）²≤2a+15，解得2-3$\sqrt{2}$≤a≤2+3$\sqrt{2}$，
则解集为[2-3$\sqrt{2}$，2+3$\sqrt{2}$]；
（2）a=-12，f（x）=|x³-1|+x³-12x
当x≥1时，f（x）=2x³-12x-1，f′（x）=6x²-12，
由f′（x）＞0，可得x＞$\sqrt{2}$；由f′（x）＜0，可得1≤x＜$\sqrt{2}$；
当x＜1时，f（x）=1-12x递减．
综上可得f（x）的增区间为（$\sqrt{2}$，+∞），减区间为（-∞，$\sqrt{2}$）；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}+ax-1，x≥1}\\{1+ax，x＜1}\end{array}\right.$，
当a＜0，x＜1时，f（x）递减，显然无最小值；
当x≥1时，f（x）的导数为f′（x）=6x²+a，
由f′（x）=0，解得x=$\sqrt{\frac{-a}{6}}$（负的舍去），
当$\sqrt{\frac{-a}{6}}$≥1即a≤-6时，f（x）在（1，$\sqrt{\frac{-a}{6}}$）递减，在（$\sqrt{\frac{-a}{6}}$，+∞）递增，
即有x=$\sqrt{\frac{-a}{6}}$，取得最小值，且为$\frac{a\sqrt{-6a}}{9}$-1；
当当$\sqrt{\frac{-a}{6}}$＜1即a＞-6时，f（x）在（1，+∞）递增，即有x=1取得最小值，且为a+1．
综上可得-6＜a＜0时，最小值为a+1；a≤-6时，最小值为$\frac{a\sqrt{-6a}}{9}$-1．

点评 本题考查分段函数的运用，考查函数的单调性的判断和导数的运用：求最值，同时考查不等式的解法和运算能力，分类讨论的思想方法，属于中档题．