Question

给定正整数 n 和正数 M，对于满足条件≤M 的所有等差数列 a₁，a₂，a₃，…．，试求 S=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+1的最大值．

Answer 1

解：设公差为d，a_n+1=a，
则S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1是以a_n+1=a为首项，d为公差的等差数列的前（n+1）项和，
所以S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1=（n+1）a+d．
同除以（n+1），得 ．
则M≥=
≥
因此|S|≤（n+1），
且当 a=，d= 时，
S=（n+1）〔+〕
=（n+1）=（n+1）
由于此时4a=3nd，故 =．
所以，S的最大值为（n+1）．
分析：设公差为d，a_n+1=a，由S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1=（n+1）a+d得，，则有M≥，下面由基本不等式的性质可解．
点评：本题为数列和不等式的结合，正确变形时解决问题的关键，属中档题．