Question

本小题满分12分
的内切圆与三边的切点分别为，已知，内切圆圆心，设点的轨迹为.

（1）求的方程；
（2）过点的动直线交曲线于不同的两点（点在轴的上方），问在轴上是否存在一定点（不与重合），使恒成立，若存在，试求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【解】（1）设点，由题知
，
根据双曲线定义知，点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支（除去点），
故的方程为. …4分
（2）设点.

 ，  　 ……………………… 6分
①当直线轴时，
点在轴上任何一点处都能使得成立. 　…………7分
②当直线不与轴垂直时，设直线，
由得
      　　　　…………… 9分

，使，
只需成立，即，即，
，即
 ，故，故所求的点的坐标为时，
恒成立.     　　　………………………12分

解析