Question

20．设数列{a_n}是等差数列，a₃=5，a₅=9，数列{b_n}的前n项和为S_n，S_n=2ⁿ⁺¹-2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n（n∈N^*），T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知求出等差数列的公差，代入通项公式即可；由数列{b_n}的前n项和求得首项，再由b_n=S_n-S_n-1求得n≥2时{b_n}的通项公式，验证首项后得答案；
（2）把（1）中求得的{a_n}、{b_n}的通项公式代入c_n=a_n•b_n，然后利用错位相减法求和．

解答 解：（1）在等差数列{a_n}中，由a₃=5，a₅=9，得$d=\frac{{a}_{5}-{a}_{3}}{5-3}=\frac{9-5}{2}=2$，
∴a_n=a₃+（n-3）d=5+2（n-3）=2n-1；
在等比数列{b_n}中，由S_n=2ⁿ⁺¹-2，得b₁=S₁=2，
当n≥2时，${b}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={2}^{n+1}-2-{2}^{n}+2$=2ⁿ，验证n=1时成立，
∴${b}_{n}={2}^{n}$．
（2）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2ⁿ，
∴${T}_{n}=1•{2}^{1}+3•{2}^{2}+…+（2n-1）{2}^{n}$，
$2{T}_{n}=1•{2}^{2}+3•{2}^{3}+…+（2n-1）{2}^{n+1}$，
两式作差可得：$-{T}_{n}=2+8（1+2+…+{2}^{n-2}）-（2n-1）{2}^{n+1}$
=$2+8•\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}-（2n-1）{2}^{n+1}$．
∴${T}_{n}=（2n-3）{2}^{n+1}+6$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．