【题目】已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2 , a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式
(2)若bn=anlog an , Sn=b1+b2+b3+…+bn , 对任意正整数n,Sn+(n+m)an+1<0恒成立,试求m的取值范围.
【答案】
(1)解:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.
依题意,
有2(a3+2)=a2+a4,
代入a2+a3+a4=28,
得a3=8.
∴a2+a4=20.
∴
解之得 ,或
又{an}单调递增,
∴q=2,a1=2,∴an=2n,
(2)解:bn=2nlog 2n=﹣n2n,
∴﹣Sn=1×2+2×22+3×23++n×2n①
﹣2Sn=1×22+2×23++(n﹣1)2n+n2n+1②
①﹣②得,Sn=2+22+23++2n﹣n2n+1
= ﹣n2n+1
=2n+1﹣2﹣n2n+1
由Sn+(n+m)an+1<0,
即2n+1﹣2﹣n2n+1+n2n+1+m2n+1<0对任意正整数n恒成立,
∴m2n+1<2﹣2n+1.
对任意正整数n,
m< ﹣1恒成立.
∵ ﹣1>﹣1,∴m≤﹣1.
即m的取值范围是(﹣∞,﹣1].
【解析】(1)设等比数列{an}的首项为a1 , 公比为q,根据2(a3+2)=a2+a4 , 可求得a3 . 进而求得a2+a4=20.两式联立方程即可求得a1和q的值,最后根据等比数列的通项公式求得an . (2)把(1)中的an代入bn , 再利用错位相减法求得Sn , 再由Sn+(n+m)an+1<0恒成立进而求得m的范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的基本性质的相关知识,掌握{an}为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列;{an}既是等差数列又是等比数列== {an}是各项不为零的常数列,以及对数列的通项公式的理解,了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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【题目】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA= acosB.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,sinC=2sinA,分别求a和c的值.
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【题目】设函数f(x)=|logax|(0<a<1)的定义域为[m,n](m<n),值域为[0,1],若n﹣m的最小值为 , 则实数a的值为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知三个点A(2,1)、B(3,2)、D(﹣1,4).
(1)求证: ;
(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值.
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【题目】在直角坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,已知直线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.
(1)设为参数,若,求直线的参数方程;
(2)已知直线与曲线交于,设,且,求实数的值.
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【题目】已知正方形ABCD的边长为1,弧BD是以点A为圆心的圆弧.
(1)在正方形内任取一点M,求事件“|AM|≤1”的概率;
(2)用大豆将正方形均匀铺满,经清点,发现大豆一共28粒,其中有22粒落在圆中阴影部分内,请据此估计圆周率π的近似值(精确到0.01).
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【题目】甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中的5道题。规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选.
(I)求甲能入选的概率.
(II)求乙得分的分布列和数学期望;
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