Question

一个正方体形状的无盖铁桶ABCD-A₁B₁C₁D₁的容积是V，里面装有体积为

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V的水，放在水平的地面上（如图所示）．现以顶点A为支撑点，将铁桶倾斜，当铁桶中的水刚好要从顶点A₁处流出时，棱AA₁与地面所成角的余弦值为

 

．

Answer 1

分析：由已知中正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的容积是V，里面装有体积为

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V的水，若以顶点A为支撑点，将铁桶倾斜，当铁桶中的水刚好要从顶点A₁处流出时，由等体积法，可得此时液面即为平面A₁FH，建立空间坐标系，分别求出棱AA₁的方向向量和平面A₁FH的法向量，代入向量夹角公式，即可求出答案．

解答：解：设初如状态下，液面与四条侧棱分别交于E，F，G，H四点，如下图示：
根据等体积法，以顶点A为支撑点，将铁桶倾斜，当铁桶中的水刚好要从顶点A₁处流出时，
液面依然经过F，H点，则棱AA₁与地面所成角θ即为棱AA₁与平面A₁FH的夹角
以A为坐标原点，AD，AB，AA₁方向分别为x，y，z轴正方向，设正方体棱长为3，
则

AA1

=（0，0，3），

A1F

=（3，0，-1），

A1H

=（0，3，-1）
设平面A₁FH的法向量

m

=（x，y，z），
则

3x-z=0 3y-z=0

则

m

=（1，1，3）
则sinθ=|

AA1 • m

|AA1 |•| m |

|=

3 11

11

则cosθ=

1-sin2θ

=

22

11

故答案为：

22

11

点评：本题考查的知识点是直线与平面的夹角，其中根据等体积法，得到满足条件时，液面依然经过F，H点，进而将问题转化为棱AA₁与平面A₁FH的夹角，是解答本题的关键．