Question

过x轴正半轴上一点P的直线与抛物线y²=4x交于两点A、B的横坐标分别为3和

1

3

，若

AP

=λ

PB

则λ的值等于（　　）

A．9

B．9或-9

C．3

D．3或-3

Answer 1

分析：依题意，可求得A、B两点的坐标，从而可求其方程，继而可得点P的坐标，利用向量共线的坐标运算即可求得λ．

解答：解：依题意，作图如右：
不妨令点A在x轴上方，点B在x轴下方，
∵A、B为抛物线y²=4x上的两点，A、B两点的横坐标分别为3和

1

3

，
∴A（3，2

3

），B（

1

3

，-

2 3

3

），
∴k_AB=

3

，
∴AB的直线方程为y-2

3

=

3

（x-3），令y=0得x=1，
∴P（1，0）；
∴

AP

=（1-3，-2

3

）=（-2，-2

3

），

PB

=（-

2

3

，-

2 3

3

），
∵

AP

=λ

PB

，
∴（-2，-2

3

）=λ（-

2

3

，-

2 3

3

），
∴-2=-

2

3

λ，解得λ=3；
若点A在x轴下方，点B在x轴上方，同理可求k_AB=-

3

，P（1，0），
此时

AP

=（

2

3

，-

2 3

3

），

PB

=（2，-2

3

），
由

AP

=λ

PB

，得λ=3．
综上所述，λ=3．
故选C．

点评：本题考查抛物线的简单性质，考查方程思想与分类讨论思想及运算能力的综合运用，属于中档题．