Question

16．已知关于x的方程x²+（k+2i）x+2+ki=0．
（1）有实根，求实数k及实根；
（2）有一根$\frac{1}{i}$-1，求k．

Answer 1

分析 （1）通过整理原方程即为（x²+kx+2）+（2x+k）i=0，其有实根只需$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+kx+2=0}\\{2x+k=0}\end{array}\right.$，计算即可；
（2）通过将改方程的根代入原方程，计算即可．

解答 解：（1）∵x²+（k+2i）x+2+ki=0有实根，
∴（x²+kx+2）+（2x+k）i=0有实根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+kx+2=0}\\{2x+k=0}\end{array}\right.$，
消去x可得：$\frac{{k}^{2}}{4}-\frac{{k}^{2}}{2}+2=0$，
∴k=±2$\sqrt{2}$，
∴x=-$\frac{k}{2}$=±$\sqrt{2}$；
（2）∵x²+（k+2i）x+2+ki=0有一根$\frac{1}{i}$-1，
∴（$\frac{1}{i}$-1）²+（k+2i）（$\frac{1}{i}$-1）+2+ki=0，
整理得：4-k-2i=0，
∴k=4-2i．

点评 本题考查复数方程相关问题，注意解题方法的积累，属于中档题．